Hàm mật độ xác suất

Để hiểu về phân phối Dirichlet, cần phải hiểu về hàm mật độ xác suất đã. Sau đó phải đọc về phân phối Beta

a) Định nghĩa: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X ký hiệu là f(x) là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên đó: f(x) = F’(x).

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng hàm mật độ xác suất chỉ áp dụng được đối với đại lượng ngẫu nhiên liên tục vì chỉ trong trường hợp đó hàm phân phối xác suất F(x) mới liên tục và khả vi với mọi giá trị x.

b) Các tính chất của hàm mật độ xác suất:

Tính chất 1: Hàm mật độ xác suất luôn không âm: f(x) ≥ 0, với mọi x.

Chứng minh: Hàm phân phối xác suất F(x) là một hàm không giảm do đó đạo hàm của nó F’(x) = f(x) là một hàm không âm. Về mặt hình học điều đó có nghĩa là đồ thị của hàm f(x) không nằm thấp hơn trục Ox.

Tính chất 2: Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a,b) bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó:

Về mặt hình học, tính chất 2 được minh họa như sau:

Xác suất để đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng (a, b) bằng diện tích của miền giới hạn bởi trục Ox, đường cong f(x) và các đường thẳng x = a, x = b (miền gạch trên hình 3.2).

Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất F(x) của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X bằng tích phân suy rộng của hàm mật độ xác suất trong khoảng (-∞; x).

Công thức trên cho phép tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục khi biết hàm mật độ xác suất của nó.

Về mặt hình học, công thức trên cho thấy giá trị của hàm phân phối xác suất F(x) tại điểm a bằng diện tích giới hạn bởi trục Ox, đường cong f(x) và đường thẳng x = a (miền gạch trên hình 3.3).

Tính chất 4: tích phân suy rộng trong khoảng (-∞;∞) của hàm mật độ xác suất bằng 1

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s